Математичні парадокси суперечать здоровому глузду і здаються неймовірними. Теореми, які ґрунтуються на логіці, можуть бути дивними та складними для розуміння. Які з математичних парадоксів викликають у суспільства найбільш жвавий інтерес?
Парадокс вивертання сфери
У чому суть парадокса вивертання сфери? Вона полягає в тому, що чашка еквівалентна тороїду (поверхні обертання), яка ззовні нагадує пончик. Це доводить топологія – розділ математики з вивчення явища безперервності, властивостей простору та типів деформацій, що відбуваються без розривів і склеювань.
Прикладом об’єкта, який вивчає топологія, слугує стрічка Мебіуса. Її поверхня має тільки один бік і один край. Простіше кажучи, пончик можна вивернути так, щоб він перетворився на чашку кави, використовуючи скручування і розтягування. Для цього достатньо виконати такі дії:
- Встановити пончик вертикально.
- Розширити його в один бік.
- Вдавити верхівку з цього ж боку.
Топологи давно намагаються відповісти на запитання, чи можна вивернути сферу. Це здається неможливим, але є відео, яке наочно демонструє, що це реально. Спосіб вивертання сфер створив французький тополог Бернард Морін.
Парадокс обмеженості груп орнаментів
У чому суть математичного парадокса обмеженості груп орнаментів? Якщо варіанти малюнків на шпалерах здаються людям необмеженими, то це помилка. В архітектурі та декоративному мистецтві існує всього сімнадцять груп орнаментів (груп плоскої симетрії, плоских кристалографічних груп).
Говорячи математичною мовою, кількість геометричних шаблонів скінченна. Згрупувати за цими шаблонами можна різні малюнки, це можуть бути:
- Малюнки будь-якого художника-графіка, наприклад Мауріца Корнеліса Ешера.
- Зображення на шпалерах.
- Дизайни керамічної плитки.
Групи орнаментів – це двовимірні групи симетрії. Неважливо, якого розміру, кольору, стилю чи орієнтації малюнок, він однаково легко впишеться в одну з сімнадцяти груп.
Парадокс купи
У чому суть математичного парадокса купи? Він полягає в тому, що неможливо точно визначити, в який момент одне зернятко стає купою або, навпаки, коли купа перестане бути купою, якщо видаляти з неї по одному зерну.
Виходить, що додавання по одному зернятку до сукупності не стає незаперечною передумовою для утворення купи. То в який момент часу одне зернятко стає тим, що називають купою?
Цей логічний математичний парадокс у IV столітті до нашої ери вперше сформулював давньогрецький філософ Євбулід. Інша назва парадоксу купи – парадокс Соріта. На підставі цього Євбулід сформулював інші парадокси. Серед них парадокс лисого, який у формі запитання звучить так: “Якщо волосся на голові випадає по одному, то з якого моменту людина вважається лисою?”.
Парадокс Галілея
У чому суть математичного парадокса Галілея? Натуральних чисел стільки ж, скільки квадратів натуральних чисел. Приклад: у множині 1, 2, 3, 4 міститься стільки ж елементів, як і в множині, що була утворена під час піднесення цифр першої множини до квадрата: 1, 4, 9, 16.
Галілей описав парадокс у своїй останній роботі “Дві науки”, у якій навів судження, що суперечать одне одному:
- Деякі числа – точні квадрати інших цілих чисел.
- У кожного натурального числа є його точний квадрат.
Виходить, що точних квадратів разом зі звичайними числами має бути більше, ніж самих точних квадратів. Галілей знайшов протиріччя своєї ж теорії, описаної ним раніше в “Науках”. Його теорію допрацював німецький математик Георг Кантор, увівши поняття “потужність множини”.
Парадокс спіралі простих чисел
У чому суть математичного парадокса спіралі простих чисел? Американський і польський математик Станіслав Улам на одній нудній доповіді вирішив розважити себе малюванням. Він розкреслив аркуш паперу вертикальними і горизонтальними лініями, вирішивши накидати шаховий етюд. Але передумав і почав нумерувати клітини. Центральну позначив одиницею і став писати цифри в порядку зростання по спіралі вліво.
Незабаром він виявив закономірність: якщо записувати цілі числа по спіралі, прості числа (діляться на одиницю і на себе), шикуються вздовж діагональних ліній. При цьому вони лежать на одних діагоналях, але їх практично немає на інших. Цікаво, що закономірність спостерігається незалежно від того, з якого числа почати писати цифрову спіраль.
Парадокс скатертину Улама було названо на честь людини, яка її відкрила. Разом з однодумцями Майроном Л. Стейном і Марком Б. Веллсом математик продовжував вивчення спіралі простих чисел. Пізніше з’явилися інші варіації “скатертини Улама”:
- Трикутник Клаубера.
- Спіраль Сакса.
Парадокс днів народження (принцип Діріхле)
Принцип Діріхле вперше 1939 року вивчив австрійський математик і механік Ріхард Мізес. Він був заснований на принципі здорового глузду, який сформулював німецький математик Петер Густав Діріхле. На прикладі готових математичних розрахунків парадокс днів народження розглянув Джозеф Мазур у книзі “Гра випадку. Математика і міфологія збігу”.
У чому суть математичного парадокса днів народження? Якщо взяти довільну групу з 23+ осіб, то ймовірність збігу дат дня народження у 2 членів групи перевищить 50%. Коли кількість людей у групі стане більшою за 60, імовірність збігу сягне 99%. У групі чисельністю понад 367 осіб у 2 осіб обов’язково будуть дні народження в один і той самий день.
Саме твердження може здатися неочевидним, але математичні розрахунки підтверджують його справедливість, і в цьому полягає суть парадокса днів народження.
Парадокс Тристрама Шенді
У чому суть математичного парадокса Трістрама Шенді? Дотримуючись логіки головного героя незакінченого гумористичного роману “Життя і думки Тристрама Шенді, джентльмена” Лоренса Стерна, можна сказати так: якби життя тривало нескінченно, то воно налічувало б стільки ж років, скільки днів.
У книзі герой нарікає на те, що для викладу першого дня життя йому знадобився цілий рік, і стільки ж він витратив на опис другого дня. Він вважає, що автобіографічний матеріал накопичуватиметься швидше, ніж він його опрацьовуватиме і викладатиме на папері. Так його біографія ніколи не буде завершена.
Апелюючи до його аргументів, британський філософ, логік, математик і громадський діяч Бертран Рассел вивів твердження, що якби він навіть жив вічно і не втомився від написання автобіографії, він зміг би дописати книжку свого життя в повному обсязі. Це підтверджує Н. Бурбакі (псевдонім групи французьких математиків) у книзі “Теорія множин”.
Дихотомія Зенона, або парадокс математичної моделі руху
У чому суть математичного парадокса теорії руху? Для подолання всього шляху необхідно пройти його половину. Але щоб подолати дану половину шляху, потрібно спочатку подолати половину половини. І так триватиме до нескінченності. Висновок: рух неможливий.
Цей парадокс було названо дихотомією Зенона, на честь давньогрецького філософа Зенона Елейського, відомого своїми апоріями – парадоксальними твердженнями. Дихотомія Зенона лягла в основу фантастичного оповідання “Про невтомну жабу” письменника Філіпа Діка.
Парадокса маляра
У чому суть математичного парадокса маляра? Фігура з нескінченною площею поверхні може бути пофарбована скінченною кількістю фарби. Як пояснює А. А. Панов, твердження будується на тому факті, що вся фігура покривається шаром фарби неоднакової товщини. У цьому і полягає суть малярського парадокса.
Передбачається, що кожен наступний сегмент фігури буде вкритий дедалі тоншим шаром фарби. Це можливо, якщо фігура буде утворена в результаті обертання навколо горизонтальної осі кривої функції y=1/х (ріг або конус).
Використовуючи розрахунки площі та об’єму такої фігури, можна дійти висновку, що нескінченно довгий ріг має кінцевий об’єм, і він дорівнює 2π. Площа поверхні такої фігури буде нескінченною.
Математичні парадокси гарні тим, що змушують замислитися. Вони наочно демонструють, що математика – цікава наука, яка може бути застосована до повсякдення. Вивчаючи цікаві математичні парадокси можна розширити світогляд, знайти відповіді на запитання та стати автором нових наукових відкриттів.
Дізнавайтеся про все першими
Підпишіться і дізнавайтеся про свіжі новини Казахстану, фото, відео та інші ексклюзиви.
